Родился 30 мая 1924 года в поселке Общий Рудник, ныне в черте города Кизел Пермского края, в семье рабочего. Русский. Окончил семь классов средней школы им. А.С. Пушкина, затем работал слесарем.

            В мае 1941 года был призван в Красную Армию Кизелским горвоенкоматом. На фронтах Великой Отечественной войны с марта 1944 года. Воевал в составе 28-го танкового полка командиром орудия танка Т-34. Был легко ранен, награжден медалью «За отвагу». Особо отличился в боях при форсировании реки Одер в январе 1945 года. На подступах к реке Одер танкисты выдержали почти две недели тяжелых непрерывных боев. 13 января 1945 года в боях на подступах к городу Кельце (Польша) экипаж танка Т-34, в составе которого действовал старший сержант Савельев, подбил танк «Пантера», уничтожил 7 автомашин, 3 бронетранспортера, 2 орудия и более 20 вражеских солдат. 13-15 января, отбивая контратаки врага, танкисты сожгли 3 танка, 3 бронетранспортера и 9 машин с военными грузами, уничтожили более 30 гитлеровцев.26 января 1945 года танк, в экипаже которого был старший сержант Савельев, первым вышел к реке Одер в районе населенного пункта Любхен (Любин, северо-восточнее города Хобеня, Польша). Поддерживая огнем стрелковые подразделения, форсировавшие водную преграду, уничтожил 3 зенитных орудия и до 40 гитлеровцев. В тот же день, форсировав реку, в бою за удержание плацдарма уничтожил 3 зенитные пушки и бронетранспортер, подавил огонь трех огневых точек и двух орудий, которые препятствовали продвижению нашей пехоты.             29 января командиром полка старший сержант Савельев был представлен к присвоению звания Героя Советского Союза. Старший сержант Савельев погиб в бою 31 января 1945 года. Был похоронен на месте последнего боя, в братской могиле в 8 км западнее города Кебен-на-Одере. Позднее перезахоронен на Кутузовском мемориале - воинском кладбище в селе Болеславице, под городом Болеславец (Любушское воеводство), могила 69.Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 апреля 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистским захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм старшему сержанту Савельеву Константину Александровичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.Награжден орденом Ленина, медалью «За отвагу».На родине Героя в 1962 году установлен бюст. В 1969 году на Выборгском судостроительном заводе был спущен на воду лесовоз «Константин Савельев».